Simulado para Técnico do Ministério Público RS: Raciocínio Lógico-Matemático
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Simulado – Técnico do Ministério Público do RS
Área: Raciocínio Lógico-Matemático | Banca: Instituto AOCP
Instruções
- Este simulado contém 30 questões de múltipla escolha sobre Raciocínio Lógico-Matemático.
- Você terá 3 horas para completar o simulado.
- Cada questão possui apenas uma alternativa correta.
- Ao finalizar, você poderá revisar suas respostas e consultar o gabarito comentado.
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Apostila – Técnico do Ministério Público do RS
Banca: Instituto AOCP
Raciocínio Lógico-Matemático
Apresentação
Esta apostila foi desenvolvida especificamente para candidatos ao cargo de Técnico do Ministério Público do Rio Grande do Sul, seguindo o conteúdo programático da banca organizadora Instituto AOCP.
O material aborda de forma completa e didática todos os tópicos de Raciocínio Lógico-Matemático exigidos no edital, com exemplos práticos e exercícios para fixação.
Conteúdo Programático
- Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios.
- Dedução de novas informações das relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquela relação.
- Compreensão e elaboração das situações por meio de: raciocínio verbal; raciocínio matemático, envolvendo conjuntos e suas operações/ diagrama de Venn, conjuntos numéricos e suas operações por meio de problemas utilizando frações e números decimais, razões e proporções, grandezas proporcionais, divisão proporcional, regra de três simples e composta, porcentagem; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal.
- Compreensão do processo lógico (lógica das proposições e tabela verdade) que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.
Nesta apostila, você encontrará explicações detalhadas, exemplos resolvidos e dicas para resolver questões típicas da banca AOCP.
Sobre a Banca AOCP
O Instituto AOCP é conhecido por elaborar questões que exigem interpretação cuidadosa e domínio dos conceitos fundamentais. Em Raciocínio Lógico, a banca costuma explorar situações-problema contextualizadas e aplicações práticas dos conceitos.
Como Estudar
Recomendamos a leitura completa do material, resolução dos exemplos propostos e prática com questões anteriores da banca. Mantenha um caderno de anotações e revise periodicamente os conceitos mais importantes.
1. Estrutura Lógica de Relações
Conceitos Fundamentais
A estrutura lógica de relações trata da análise de conexões entre elementos (pessoas, lugares, objetos ou eventos) e como essas relações podem ser representadas e analisadas logicamente.
Exemplo:
Considere a seguinte situação: “Ana, Beatriz e Carla são, não necessariamente nesta ordem, médica, advogada e engenheira. Ana não é médica. Beatriz não é advogada. Carla não é engenheira nem advogada.”
Para resolver este problema, podemos organizar as informações em uma tabela:
Médica | Advogada | Engenheira | |
---|---|---|---|
Ana | Não | ? | ? |
Beatriz | ? | Não | ? |
Carla | ? | Não | Não |
Analisando as informações:
- Carla não é engenheira nem advogada, logo Carla é médica.
- Ana não é médica, e como Carla é médica, Ana só pode ser advogada ou engenheira.
- Beatriz não é advogada, e como precisamos preencher todas as profissões, se Carla é médica, então Beatriz deve ser engenheira e Ana advogada.
Conclusão:
- Ana é advogada
- Beatriz é engenheira
- Carla é médica
Métodos de Resolução
Para resolver problemas de estrutura lógica, podemos utilizar diferentes métodos:
- Tabelas de dupla entrada: Organizamos as informações em tabelas, marcando as possibilidades com símbolos (geralmente V para verdadeiro e F para falso).
- Diagramas: Representação visual das relações entre os elementos.
- Análise de casos: Testamos todas as possibilidades e eliminamos as inconsistentes.
2. Dedução de Novas Informações
Processo Dedutivo
A dedução é o processo de obter conclusões específicas a partir de premissas gerais. Em problemas de raciocínio lógico, frequentemente precisamos deduzir novas informações a partir das relações fornecidas.
Exemplo:
Considere as seguintes premissas:
- Todos os professores são estudiosos.
- Alguns estudiosos são pesquisadores.
- Nenhum pesquisador é desorganizado.
O que podemos deduzir dessas premissas?
Análise:
- Da primeira premissa, sabemos que o conjunto dos professores está contido no conjunto dos estudiosos.
- Da segunda premissa, sabemos que há uma interseção entre o conjunto dos estudiosos e o conjunto dos pesquisadores.
- Da terceira premissa, sabemos que o conjunto dos pesquisadores e o conjunto dos desorganizados são disjuntos (não têm elementos em comum).
Conclusões válidas:
- Alguns professores podem ser pesquisadores (mas não podemos afirmar que todos são).
- Nenhum pesquisador é desorganizado.
- Alguns estudiosos não são pesquisadores.
Conclusões inválidas:
- Todos os professores são pesquisadores.
- Nenhum professor é desorganizado.
Avaliação de Condições
É importante avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura de uma relação, verificando se são necessárias e suficientes para chegar a determinadas conclusões.
Dica para a prova:
Ao analisar as alternativas em questões de dedução lógica, verifique se a conclusão apresentada é necessariamente verdadeira com base nas premissas dadas. Uma conclusão válida deve ser verdadeira em todos os cenários possíveis que satisfaçam as premissas.
3. Compreensão e Elaboração de Situações
Raciocínio Verbal
O raciocínio verbal envolve a compreensão e análise de informações apresentadas em forma de texto, exigindo interpretação precisa e capacidade de identificar relações lógicas entre conceitos.
Exemplo:
“Se estudo, então passo na prova. Não passei na prova.”
O que podemos concluir?
Análise:
Temos a proposição “Se P, então Q”, onde P = “estudo” e Q = “passo na prova”.
Sabemos que Q é falso (não passei na prova).
Pela contrapositiva, se Q é falso, então P também é falso.
Conclusão:
Não estudei.
Raciocínio Matemático
O raciocínio matemático envolve a aplicação de conceitos e operações matemáticas para resolver problemas lógicos.
Conjuntos e suas operações
Os conjuntos são coleções de elementos que compartilham determinadas características. As principais operações entre conjuntos são:
- União (∪): Conjunto formado por todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.
- Interseção (∩): Conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos.
- Diferença (-): Conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
- Complementar (A’): Conjunto formado pelos elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.
Diagrama de Venn
O diagrama de Venn é uma representação gráfica que mostra as relações lógicas entre conjuntos.
Raciocínio Sequencial
O raciocínio sequencial envolve a identificação de padrões e regularidades em sequências de números, figuras ou palavras.
Exemplo:
Qual é o próximo número da sequência: 2, 6, 12, 20, 30, …?
Análise:
Vamos calcular as diferenças entre termos consecutivos:
6 – 2 = 4
12 – 6 = 6
20 – 12 = 8
30 – 20 = 10
Observamos que as diferenças formam uma sequência: 4, 6, 8, 10, …
A diferença entre essas diferenças é constante: 2.
Portanto, a próxima diferença será 10 + 2 = 12.
Conclusão:
O próximo número será 30 + 12 = 42.
Orientação Espacial e Temporal
A orientação espacial envolve a capacidade de compreender e visualizar posições, direções e movimentos no espaço. A orientação temporal refere-se à compreensão de sequências de eventos no tempo.
Exemplo de orientação espacial:
João está de frente para o norte. Ele gira 90° no sentido horário, caminha 10 metros, gira 90° no sentido anti-horário e caminha mais 5 metros. Em que direção João está agora?
Análise:
- Inicialmente, João está de frente para o norte.
- Ao girar 90° no sentido horário, ele fica de frente para o leste.
- Após caminhar 10 metros para o leste, ele gira 90° no sentido anti-horário, voltando a ficar de frente para o norte.
- Por fim, ele caminha mais 5 metros para o norte.
Conclusão:
João está de frente para o norte.
Conjuntos e Operações
Teoria dos Conjuntos
Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos. Os conjuntos são geralmente representados por letras maiúsculas, e seus elementos são listados entre chaves.
Notações e Conceitos Básicos
- Pertinência (∈): Indica que um elemento pertence a um conjunto. Ex: x ∈ A.
- Não pertinência (∉): Indica que um elemento não pertence a um conjunto. Ex: y ∉ A.
- Conjunto vazio (∅): Conjunto que não possui elementos.
- Conjunto universo (U): Conjunto que contém todos os elementos em consideração.
- Subconjunto (⊂): A ⊂ B significa que todo elemento de A também é elemento de B.
- Igualdade de conjuntos (=): A = B significa que A ⊂ B e B ⊂ A.
Operações com Conjuntos
- União (A ∪ B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos).
- Interseção (A ∩ B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.
- Diferença (A – B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
- Complementar (A’): Conjunto formado pelos elementos do universo que não pertencem a A.
- Diferença simétrica (A Δ B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos simultaneamente. Equivale a (A – B) ∪ (B – A) ou (A ∪ B) – (A ∩ B).
Propriedades das Operações
Propriedade | União | Interseção |
---|---|---|
Comutativa | A ∪ B = B ∪ A | A ∩ B = B ∩ A |
Associativa | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) | (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) |
Distributiva | A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |
Elemento neutro | A ∪ ∅ = A | A ∩ U = A |
Complementar | A ∪ A’ = U | A ∩ A’ = ∅ |
Leis de De Morgan
- (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
- (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Exemplo:
Em uma pesquisa com 120 pessoas sobre a preferência por três produtos A, B e C, obteve-se o seguinte resultado:
- 42 pessoas preferem o produto A
- 35 pessoas preferem o produto B
- 40 pessoas preferem o produto C
- 15 pessoas preferem os produtos A e B
- 13 pessoas preferem os produtos A e C
- 10 pessoas preferem os produtos B e C
- 5 pessoas preferem os três produtos
Quantas pessoas não preferem nenhum dos três produtos?
Resolução:
Vamos usar a fórmula do número de elementos da união de três conjuntos:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Substituindo os valores:
n(A ∪ B ∪ C) = 42 + 35 + 40 – 15 – 13 – 10 + 5 = 117 – 38 + 5 = 84
Como o total de pessoas é 120, o número de pessoas que não preferem nenhum dos produtos é:
120 – 84 = 36
Resposta:
36 pessoas não preferem nenhum dos três produtos.
Conjuntos Numéricos
Principais Conjuntos Numéricos
- Conjunto dos Números Naturais (ℕ): {0, 1, 2, 3, …}
- Conjunto dos Números Inteiros (ℤ): {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
- Conjunto dos Números Racionais (ℚ): Números que podem ser escritos na forma p/q, onde p e q são inteiros e q ≠ 0.
- Conjunto dos Números Irracionais (I): Números reais que não podem ser escritos na forma de fração.
- Conjunto dos Números Reais (ℝ): União dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
Relação de Inclusão
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Operações com Frações
Adição e Subtração
Para somar ou subtrair frações, é necessário que elas tenham o mesmo denominador. Caso contrário, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores.
\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\)
Multiplicação
Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.
\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)
Divisão
Para dividir frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.
\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\)
Operações com Números Decimais
Os números decimais são uma forma de representar os números racionais, onde a parte inteira é separada da parte decimal por uma vírgula (ou ponto, em alguns países).
Adição e Subtração
Para somar ou subtrair números decimais, alinhamos as vírgulas e operamos normalmente.
Exemplo:
23,45 + 7,8 = 23,45 + 7,80 = 31,25
15,7 – 8,25 = 15,70 – 8,25 = 7,45
Multiplicação
Para multiplicar números decimais, multiplicamos como se fossem números inteiros e, no resultado, colocamos a vírgula de modo que o número de casas decimais seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores.
Exemplo:
2,3 × 4,5 = 10,35
O primeiro fator tem 1 casa decimal, o segundo também tem 1 casa decimal, então o resultado terá 1 + 1 = 2 casas decimais.
Divisão
Para dividir números decimais, multiplicamos o dividendo e o divisor pela mesma potência de 10, de modo que o divisor se torne um número inteiro, e então efetuamos a divisão normalmente.
Exemplo:
15,6 ÷ 2,4 = 156 ÷ 24 = 6,5
Multiplicamos ambos por 10 para eliminar a casa decimal do divisor.
Dica para a prova:
Em questões envolvendo operações com frações e números decimais, é comum que a banca AOCP apresente problemas contextualizados. Preste atenção às unidades de medida e ao significado prático dos resultados.
Proporcionalidade
Razões e Proporções
Razão
Razão é o quociente entre dois números ou duas grandezas de mesma espécie. Se a e b são dois números, com b ≠ 0, a razão entre a e b é representada por a:b ou a/b.
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. Se a:b = c:d, dizemos que a, b, c e d formam uma proporção, onde a e d são os extremos, e b e c são os meios.
Se a:b = c:d, então a × d = b × c (Propriedade fundamental das proporções)
Exemplo:
Se 3:5 = x:15, qual é o valor de x?
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
3 × 15 = 5 × x
45 = 5x
x = 9
Grandezas Proporcionais
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma implica no aumento (ou diminuição) da outra na mesma razão.
Se x e y são diretamente proporcionais, então y = k × x, onde k é a constante de proporcionalidade.
Exemplo:
Se 5 operários constroem um muro em 12 dias, quantos dias 8 operários levarão para construir o mesmo muro?
Neste caso, o número de operários e o número de dias são inversamente proporcionais.
5 × 12 = 8 × x
60 = 8x
x = 7,5
Portanto, 8 operários levarão 7,5 dias para construir o mesmo muro.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na diminuição da outra, de modo que o produto entre elas permaneça constante.
Se x e y são inversamente proporcionais, então x × y = k, onde k é a constante de proporcionalidade.
Divisão Proporcional
A divisão proporcional consiste em dividir uma grandeza em partes proporcionais a números dados.
Exemplo:
Dividir R$ 1.200,00 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.
Soma dos números: 2 + 3 + 5 = 10
Primeira parte: (2/10) × 1.200 = 240
Segunda parte: (3/10) × 1.200 = 360
Terceira parte: (5/10) × 1.200 = 600
Verificação: 240 + 360 + 600 = 1.200
Regra de Três
Regra de Três Simples
A regra de três simples é utilizada para resolver problemas que envolvem duas grandezas proporcionais.
Exemplo (Grandezas diretamente proporcionais):
Se 3 kg de arroz custam R$ 15,00, quanto custam 5 kg?
Montando a regra de três:
3 kg → R$ 15,00
5 kg → x
Como as grandezas são diretamente proporcionais:
3/5 = 15/x
3x = 15 × 5
3x = 75
x = 25
Portanto, 5 kg de arroz custam R$ 25,00.
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada para resolver problemas que envolvem três ou mais grandezas proporcionais.
Exemplo:
Se 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, levam 15 dias para construir um muro, quantos dias levarão 10 operários, trabalhando 8 horas por dia, para construir o mesmo muro?
Analisando as relações de proporcionalidade:
- Mais operários → menos dias (inversamente proporcionais)
- Mais horas de trabalho por dia → menos dias (inversamente proporcionais)
Montando a regra de três composta:
8 operários → 6 horas/dia → 15 dias
10 operários → 8 horas/dia → x dias
x/15 = (8/10) × (6/8)
x/15 = (8 × 6)/(10 × 8)
x/15 = 48/80
x/15 = 0,6
x = 15 × 0,6
x = 9
Portanto, 10 operários, trabalhando 8 horas por dia, levarão 9 dias para construir o mesmo muro.
Porcentagem
Porcentagem é uma razão cujo denominador é 100. É representada pelo símbolo %.
p% de V = (p/100) × V
Exemplo:
Um produto que custava R$ 80,00 teve um aumento de 15%. Qual é o novo preço?
Valor do aumento: 15% de 80 = (15/100) × 80 = 12
Novo preço: 80 + 12 = 92
Portanto, o novo preço é R$ 92,00.
Dica para a prova:
Em questões de porcentagem, é útil lembrar que um aumento de x% seguido de uma redução de x% não resulta no preço original. Por exemplo, um aumento de 10% seguido de uma redução de 10% resulta em um valor final de 99% do valor original.
4. Processo Lógico
Lógica das Proposições
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas simultaneamente.
Operadores Lógicos
- Negação (¬): Inverte o valor lógico da proposição.
- Conjunção (∧): Verdadeira apenas quando ambas as proposições são verdadeiras.
- Disjunção (∨): Falsa apenas quando ambas as proposições são falsas.
- Condicional (→): Falsa apenas quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
- Bicondicional (↔): Verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo valor lógico.
Tabelas-Verdade
As tabelas-verdade são ferramentas que mostram todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta, considerando todas as combinações possíveis de valores lógicos das proposições simples que a compõem.
p | q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
---|---|---|---|---|---|---|
V | V | F | V | V | V | V |
V | F | F | F | V | F | F |
F | V | V | F | V | V | F |
F | F | V | F | F | V | V |
Tautologia, Contradição e Contingência
- Tautologia: Proposição composta que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem.
- Contradição: Proposição composta que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem.
- Contingência: Proposição composta que pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições simples que a compõem.
Equivalências Lógicas
Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade.
Equivalência | Descrição |
---|---|
p → q ≡ ¬p ∨ q | Definição da condicional |
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q | Lei de De Morgan |
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q | Lei de De Morgan |
p → q ≡ ¬q → ¬p | Contrapositiva |
Argumentos Lógicos
Um argumento é uma sequência de proposições, onde as primeiras (premissas) servem de base para a última (conclusão). Um argumento é válido quando a conclusão é uma consequência lógica das premissas.
Exemplo:
Premissas:
- Se chove, então a rua fica molhada.
- A rua não está molhada.
Conclusão: Não choveu.
Análise:
Sejam p: “chove” e q: “a rua fica molhada”.
Premissas: p → q e ¬q
Conclusão: ¬p
Este é um argumento válido, conhecido como Modus Tollens.
Regras de Inferência
- Modus Ponens: De p → q e p, conclui-se q.
- Modus Tollens: De p → q e ¬q, conclui-se ¬p.
- Silogismo Hipotético: De p → q e q → r, conclui-se p → r.
- Silogismo Disjuntivo: De p ∨ q e ¬p, conclui-se q.
Dica para a prova:
Em questões de lógica proposicional, é fundamental identificar corretamente as premissas e a conclusão do argumento. Verifique se a conclusão é uma consequência lógica das premissas, utilizando as regras de inferência ou construindo uma tabela-verdade.
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