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Simulado para Técnico do Ministério Público RS: Raciocínio Lógico-Matemático

Simulado para Técnico do Ministério Público RS: Raciocínio Lógico-Matemático


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Simulado Técnico MP-RS – Raciocínio Lógico-Matemático

Simulado – Técnico do Ministério Público do RS

Área: Raciocínio Lógico-Matemático | Banca: Instituto AOCP

Tempo restante: 03:00:00

Instruções

  • Este simulado contém 30 questões de múltipla escolha sobre Raciocínio Lógico-Matemático.
  • Você terá 3 horas para completar o simulado.
  • Cada questão possui apenas uma alternativa correta.
  • Ao finalizar, você poderá revisar suas respostas e consultar o gabarito comentado.
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Apostila – Técnico do Ministério Público do RS

Apostila – Técnico do Ministério Público do RS

Banca: Instituto AOCP

Raciocínio Lógico-Matemático

Apresentação

Esta apostila foi desenvolvida especificamente para candidatos ao cargo de Técnico do Ministério Público do Rio Grande do Sul, seguindo o conteúdo programático da banca organizadora Instituto AOCP.

O material aborda de forma completa e didática todos os tópicos de Raciocínio Lógico-Matemático exigidos no edital, com exemplos práticos e exercícios para fixação.

Conteúdo Programático

  1. Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios.
  2. Dedução de novas informações das relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquela relação.
  3. Compreensão e elaboração das situações por meio de: raciocínio verbal; raciocínio matemático, envolvendo conjuntos e suas operações/ diagrama de Venn, conjuntos numéricos e suas operações por meio de problemas utilizando frações e números decimais, razões e proporções, grandezas proporcionais, divisão proporcional, regra de três simples e composta, porcentagem; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal.
  4. Compreensão do processo lógico (lógica das proposições e tabela verdade) que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.

Nesta apostila, você encontrará explicações detalhadas, exemplos resolvidos e dicas para resolver questões típicas da banca AOCP.

Sobre a Banca AOCP

O Instituto AOCP é conhecido por elaborar questões que exigem interpretação cuidadosa e domínio dos conceitos fundamentais. Em Raciocínio Lógico, a banca costuma explorar situações-problema contextualizadas e aplicações práticas dos conceitos.

Como Estudar

Recomendamos a leitura completa do material, resolução dos exemplos propostos e prática com questões anteriores da banca. Mantenha um caderno de anotações e revise periodicamente os conceitos mais importantes.

1. Estrutura Lógica de Relações

Conceitos Fundamentais

A estrutura lógica de relações trata da análise de conexões entre elementos (pessoas, lugares, objetos ou eventos) e como essas relações podem ser representadas e analisadas logicamente.

Exemplo:

Considere a seguinte situação: “Ana, Beatriz e Carla são, não necessariamente nesta ordem, médica, advogada e engenheira. Ana não é médica. Beatriz não é advogada. Carla não é engenheira nem advogada.”

Para resolver este problema, podemos organizar as informações em uma tabela:

MédicaAdvogadaEngenheira
AnaNão??
Beatriz?Não?
Carla?NãoNão

Analisando as informações:

  • Carla não é engenheira nem advogada, logo Carla é médica.
  • Ana não é médica, e como Carla é médica, Ana só pode ser advogada ou engenheira.
  • Beatriz não é advogada, e como precisamos preencher todas as profissões, se Carla é médica, então Beatriz deve ser engenheira e Ana advogada.

Conclusão:

  • Ana é advogada
  • Beatriz é engenheira
  • Carla é médica

Métodos de Resolução

Para resolver problemas de estrutura lógica, podemos utilizar diferentes métodos:

  1. Tabelas de dupla entrada: Organizamos as informações em tabelas, marcando as possibilidades com símbolos (geralmente V para verdadeiro e F para falso).
  2. Diagramas: Representação visual das relações entre os elementos.
  3. Análise de casos: Testamos todas as possibilidades e eliminamos as inconsistentes.

2. Dedução de Novas Informações

Processo Dedutivo

A dedução é o processo de obter conclusões específicas a partir de premissas gerais. Em problemas de raciocínio lógico, frequentemente precisamos deduzir novas informações a partir das relações fornecidas.

Exemplo:

Considere as seguintes premissas:

  • Todos os professores são estudiosos.
  • Alguns estudiosos são pesquisadores.
  • Nenhum pesquisador é desorganizado.

O que podemos deduzir dessas premissas?

Análise:

  1. Da primeira premissa, sabemos que o conjunto dos professores está contido no conjunto dos estudiosos.
  2. Da segunda premissa, sabemos que há uma interseção entre o conjunto dos estudiosos e o conjunto dos pesquisadores.
  3. Da terceira premissa, sabemos que o conjunto dos pesquisadores e o conjunto dos desorganizados são disjuntos (não têm elementos em comum).

Conclusões válidas:

  • Alguns professores podem ser pesquisadores (mas não podemos afirmar que todos são).
  • Nenhum pesquisador é desorganizado.
  • Alguns estudiosos não são pesquisadores.

Conclusões inválidas:

  • Todos os professores são pesquisadores.
  • Nenhum professor é desorganizado.

Avaliação de Condições

É importante avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura de uma relação, verificando se são necessárias e suficientes para chegar a determinadas conclusões.

Dica para a prova:

Ao analisar as alternativas em questões de dedução lógica, verifique se a conclusão apresentada é necessariamente verdadeira com base nas premissas dadas. Uma conclusão válida deve ser verdadeira em todos os cenários possíveis que satisfaçam as premissas.

3. Compreensão e Elaboração de Situações

Raciocínio Verbal

O raciocínio verbal envolve a compreensão e análise de informações apresentadas em forma de texto, exigindo interpretação precisa e capacidade de identificar relações lógicas entre conceitos.

Exemplo:

“Se estudo, então passo na prova. Não passei na prova.”

O que podemos concluir?

Análise:

Temos a proposição “Se P, então Q”, onde P = “estudo” e Q = “passo na prova”.

Sabemos que Q é falso (não passei na prova).

Pela contrapositiva, se Q é falso, então P também é falso.

Conclusão:

Não estudei.

Raciocínio Matemático

O raciocínio matemático envolve a aplicação de conceitos e operações matemáticas para resolver problemas lógicos.

Conjuntos e suas operações

Os conjuntos são coleções de elementos que compartilham determinadas características. As principais operações entre conjuntos são:

  • União (∪): Conjunto formado por todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.
  • Interseção (∩): Conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos.
  • Diferença (-): Conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
  • Complementar (A’): Conjunto formado pelos elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.

Diagrama de Venn

O diagrama de Venn é uma representação gráfica que mostra as relações lógicas entre conjuntos.

A
B
A∩B
U

Raciocínio Sequencial

O raciocínio sequencial envolve a identificação de padrões e regularidades em sequências de números, figuras ou palavras.

Exemplo:

Qual é o próximo número da sequência: 2, 6, 12, 20, 30, …?

Análise:

Vamos calcular as diferenças entre termos consecutivos:

6 – 2 = 4

12 – 6 = 6

20 – 12 = 8

30 – 20 = 10

Observamos que as diferenças formam uma sequência: 4, 6, 8, 10, …

A diferença entre essas diferenças é constante: 2.

Portanto, a próxima diferença será 10 + 2 = 12.

Conclusão:

O próximo número será 30 + 12 = 42.

Orientação Espacial e Temporal

A orientação espacial envolve a capacidade de compreender e visualizar posições, direções e movimentos no espaço. A orientação temporal refere-se à compreensão de sequências de eventos no tempo.

Exemplo de orientação espacial:

João está de frente para o norte. Ele gira 90° no sentido horário, caminha 10 metros, gira 90° no sentido anti-horário e caminha mais 5 metros. Em que direção João está agora?

Análise:

  1. Inicialmente, João está de frente para o norte.
  2. Ao girar 90° no sentido horário, ele fica de frente para o leste.
  3. Após caminhar 10 metros para o leste, ele gira 90° no sentido anti-horário, voltando a ficar de frente para o norte.
  4. Por fim, ele caminha mais 5 metros para o norte.

Conclusão:

João está de frente para o norte.

Conjuntos e Operações

Teoria dos Conjuntos

Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos. Os conjuntos são geralmente representados por letras maiúsculas, e seus elementos são listados entre chaves.

Notações e Conceitos Básicos

  • Pertinência (∈): Indica que um elemento pertence a um conjunto. Ex: x ∈ A.
  • Não pertinência (∉): Indica que um elemento não pertence a um conjunto. Ex: y ∉ A.
  • Conjunto vazio (∅): Conjunto que não possui elementos.
  • Conjunto universo (U): Conjunto que contém todos os elementos em consideração.
  • Subconjunto (⊂): A ⊂ B significa que todo elemento de A também é elemento de B.
  • Igualdade de conjuntos (=): A = B significa que A ⊂ B e B ⊂ A.

Operações com Conjuntos

  • União (A ∪ B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos).
  • Interseção (A ∩ B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.
  • Diferença (A – B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
  • Complementar (A’): Conjunto formado pelos elementos do universo que não pertencem a A.
  • Diferença simétrica (A Δ B): Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos simultaneamente. Equivale a (A – B) ∪ (B – A) ou (A ∪ B) – (A ∩ B).

Propriedades das Operações

PropriedadeUniãoInterseção
ComutativaA ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A
Associativa(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
DistributivaA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Elemento neutroA ∪ ∅ = AA ∩ U = A
ComplementarA ∪ A’ = UA ∩ A’ = ∅

Leis de De Morgan

  • (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
  • (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Exemplo:

Em uma pesquisa com 120 pessoas sobre a preferência por três produtos A, B e C, obteve-se o seguinte resultado:

  • 42 pessoas preferem o produto A
  • 35 pessoas preferem o produto B
  • 40 pessoas preferem o produto C
  • 15 pessoas preferem os produtos A e B
  • 13 pessoas preferem os produtos A e C
  • 10 pessoas preferem os produtos B e C
  • 5 pessoas preferem os três produtos

Quantas pessoas não preferem nenhum dos três produtos?

Resolução:

Vamos usar a fórmula do número de elementos da união de três conjuntos:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Substituindo os valores:

n(A ∪ B ∪ C) = 42 + 35 + 40 – 15 – 13 – 10 + 5 = 117 – 38 + 5 = 84

Como o total de pessoas é 120, o número de pessoas que não preferem nenhum dos produtos é:

120 – 84 = 36

Resposta:

36 pessoas não preferem nenhum dos três produtos.

Conjuntos Numéricos

Principais Conjuntos Numéricos

  • Conjunto dos Números Naturais (ℕ): {0, 1, 2, 3, …}
  • Conjunto dos Números Inteiros (ℤ): {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
  • Conjunto dos Números Racionais (ℚ): Números que podem ser escritos na forma p/q, onde p e q são inteiros e q ≠ 0.
  • Conjunto dos Números Irracionais (I): Números reais que não podem ser escritos na forma de fração.
  • Conjunto dos Números Reais (ℝ): União dos conjuntos dos números racionais e irracionais.

Relação de Inclusão

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Operações com Frações

Adição e Subtração

Para somar ou subtrair frações, é necessário que elas tenham o mesmo denominador. Caso contrário, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores.

\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\)

Multiplicação

Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)

Divisão

Para dividir frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\)

Operações com Números Decimais

Os números decimais são uma forma de representar os números racionais, onde a parte inteira é separada da parte decimal por uma vírgula (ou ponto, em alguns países).

Adição e Subtração

Para somar ou subtrair números decimais, alinhamos as vírgulas e operamos normalmente.

Exemplo:

23,45 + 7,8 = 23,45 + 7,80 = 31,25

15,7 – 8,25 = 15,70 – 8,25 = 7,45

Multiplicação

Para multiplicar números decimais, multiplicamos como se fossem números inteiros e, no resultado, colocamos a vírgula de modo que o número de casas decimais seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

Exemplo:

2,3 × 4,5 = 10,35

O primeiro fator tem 1 casa decimal, o segundo também tem 1 casa decimal, então o resultado terá 1 + 1 = 2 casas decimais.

Divisão

Para dividir números decimais, multiplicamos o dividendo e o divisor pela mesma potência de 10, de modo que o divisor se torne um número inteiro, e então efetuamos a divisão normalmente.

Exemplo:

15,6 ÷ 2,4 = 156 ÷ 24 = 6,5

Multiplicamos ambos por 10 para eliminar a casa decimal do divisor.

Dica para a prova:

Em questões envolvendo operações com frações e números decimais, é comum que a banca AOCP apresente problemas contextualizados. Preste atenção às unidades de medida e ao significado prático dos resultados.

Proporcionalidade

Razões e Proporções

Razão

Razão é o quociente entre dois números ou duas grandezas de mesma espécie. Se a e b são dois números, com b ≠ 0, a razão entre a e b é representada por a:b ou a/b.

Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões. Se a:b = c:d, dizemos que a, b, c e d formam uma proporção, onde a e d são os extremos, e b e c são os meios.

Se a:b = c:d, então a × d = b × c (Propriedade fundamental das proporções)

Exemplo:

Se 3:5 = x:15, qual é o valor de x?

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

3 × 15 = 5 × x

45 = 5x

x = 9

Grandezas Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma implica no aumento (ou diminuição) da outra na mesma razão.

Se x e y são diretamente proporcionais, então y = k × x, onde k é a constante de proporcionalidade.

Exemplo:

Se 5 operários constroem um muro em 12 dias, quantos dias 8 operários levarão para construir o mesmo muro?

Neste caso, o número de operários e o número de dias são inversamente proporcionais.

5 × 12 = 8 × x

60 = 8x

x = 7,5

Portanto, 8 operários levarão 7,5 dias para construir o mesmo muro.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na diminuição da outra, de modo que o produto entre elas permaneça constante.

Se x e y são inversamente proporcionais, então x × y = k, onde k é a constante de proporcionalidade.

Divisão Proporcional

A divisão proporcional consiste em dividir uma grandeza em partes proporcionais a números dados.

Exemplo:

Dividir R$ 1.200,00 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Soma dos números: 2 + 3 + 5 = 10

Primeira parte: (2/10) × 1.200 = 240

Segunda parte: (3/10) × 1.200 = 360

Terceira parte: (5/10) × 1.200 = 600

Verificação: 240 + 360 + 600 = 1.200

Regra de Três

Regra de Três Simples

A regra de três simples é utilizada para resolver problemas que envolvem duas grandezas proporcionais.

Exemplo (Grandezas diretamente proporcionais):

Se 3 kg de arroz custam R$ 15,00, quanto custam 5 kg?

Montando a regra de três:

3 kg → R$ 15,00

5 kg → x

Como as grandezas são diretamente proporcionais:

3/5 = 15/x

3x = 15 × 5

3x = 75

x = 25

Portanto, 5 kg de arroz custam R$ 25,00.

Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada para resolver problemas que envolvem três ou mais grandezas proporcionais.

Exemplo:

Se 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, levam 15 dias para construir um muro, quantos dias levarão 10 operários, trabalhando 8 horas por dia, para construir o mesmo muro?

Analisando as relações de proporcionalidade:

  • Mais operários → menos dias (inversamente proporcionais)
  • Mais horas de trabalho por dia → menos dias (inversamente proporcionais)

Montando a regra de três composta:

8 operários → 6 horas/dia → 15 dias

10 operários → 8 horas/dia → x dias

x/15 = (8/10) × (6/8)

x/15 = (8 × 6)/(10 × 8)

x/15 = 48/80

x/15 = 0,6

x = 15 × 0,6

x = 9

Portanto, 10 operários, trabalhando 8 horas por dia, levarão 9 dias para construir o mesmo muro.

Porcentagem

Porcentagem é uma razão cujo denominador é 100. É representada pelo símbolo %.

p% de V = (p/100) × V

Exemplo:

Um produto que custava R$ 80,00 teve um aumento de 15%. Qual é o novo preço?

Valor do aumento: 15% de 80 = (15/100) × 80 = 12

Novo preço: 80 + 12 = 92

Portanto, o novo preço é R$ 92,00.

Dica para a prova:

Em questões de porcentagem, é útil lembrar que um aumento de x% seguido de uma redução de x% não resulta no preço original. Por exemplo, um aumento de 10% seguido de uma redução de 10% resulta em um valor final de 99% do valor original.

4. Processo Lógico

Lógica das Proposições

Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas simultaneamente.

Operadores Lógicos

  • Negação (¬): Inverte o valor lógico da proposição.
  • Conjunção (∧): Verdadeira apenas quando ambas as proposições são verdadeiras.
  • Disjunção (∨): Falsa apenas quando ambas as proposições são falsas.
  • Condicional (→): Falsa apenas quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
  • Bicondicional (↔): Verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo valor lógico.

Tabelas-Verdade

As tabelas-verdade são ferramentas que mostram todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta, considerando todas as combinações possíveis de valores lógicos das proposições simples que a compõem.

pq¬pp ∧ qp ∨ qp → qp ↔ q
VVFVVVV
VFFFVFF
FVVFVVF
FFVFFVV

Tautologia, Contradição e Contingência

  • Tautologia: Proposição composta que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem.
  • Contradição: Proposição composta que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem.
  • Contingência: Proposição composta que pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições simples que a compõem.

Equivalências Lógicas

Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade.

EquivalênciaDescrição
p → q ≡ ¬p ∨ qDefinição da condicional
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qLei de De Morgan
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qLei de De Morgan
p → q ≡ ¬q → ¬pContrapositiva

Argumentos Lógicos

Um argumento é uma sequência de proposições, onde as primeiras (premissas) servem de base para a última (conclusão). Um argumento é válido quando a conclusão é uma consequência lógica das premissas.

Exemplo:

Premissas:

  • Se chove, então a rua fica molhada.
  • A rua não está molhada.

Conclusão: Não choveu.

Análise:

Sejam p: “chove” e q: “a rua fica molhada”.

Premissas: p → q e ¬q

Conclusão: ¬p

Este é um argumento válido, conhecido como Modus Tollens.

Regras de Inferência

  • Modus Ponens: De p → q e p, conclui-se q.
  • Modus Tollens: De p → q e ¬q, conclui-se ¬p.
  • Silogismo Hipotético: De p → q e q → r, conclui-se p → r.
  • Silogismo Disjuntivo: De p ∨ q e ¬p, conclui-se q.

Dica para a prova:

Em questões de lógica proposicional, é fundamental identificar corretamente as premissas e a conclusão do argumento. Verifique se a conclusão é uma consequência lógica das premissas, utilizando as regras de inferência ou construindo uma tabela-verdade.





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