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Simulado: Raciocínio Lógico
Raciocínio Lógico
1. Em uma reunião com 8 pessoas, cada pessoa cumprimenta todas as outras exatamente uma vez. Quantos apertos de mão ocorreram ao todo?
Gabarito: Letra B
Nessa situação, temos um clássico exemplo de combinação simples, pois cada aperto de mão ocorre entre dois participantes diferentes e não há repetição (A cumprimentar B é o mesmo que B cumprimentar A).
O total de pares possíveis de pessoas em um grupo de 8 é dado por:
C(8, 2) = 8 × 7 / 2 = 28
Isso porque, em combinação simples, usamos a fórmula:
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), onde n = número total de elementos, e k = número de elementos por grupo.
No nosso caso, n = 8 e k = 2:
C(8,2) = 8! / (2! × 6!) = (8×7) / 2 = 28
⚠️ Dica: Sempre que a pergunta envolver “cada um cumprimenta todos os outros uma única vez”, use combinação simples de 2 elementos!
Fonte: Tópicos de Raciocínio Lógico, João Andrade, 2022.
2. Três irmãos — Ana, Bruno e Carla — precisam sentar-se lado a lado em uma fileira de 5 cadeiras. De quantas maneiras diferentes isso pode ocorrer, considerando que os três irmãos devem ficar sempre juntos?
Gabarito: Letra C
Essa é uma questão de princípio multiplicativo com restrição, comum em provas de Raciocínio Lógico. Vamos explicar como resolver o problema de forma detalhada:
Passo 1 – Tratar os irmãos como um “bloco”:
Como os três irmãos devem sentar-se juntos, podemos tratá-los como um único “bloco”. Assim, ao invés de termos 5 “pessoas” (os 3 irmãos e as 2 cadeiras vazias), tratamos isso como 3 unidades para organizar:
1. O “bloco” com os 3 irmãos (Ana, Bruno e Carla)
2. As 2 cadeiras vazias
Passo 2 – Organizar as 3 unidades:
Agora, temos 3 unidades para organizar: o “bloco” dos irmãos e as 2 cadeiras vazias. Essas 3 unidades podem ser organizadas em \(3! = 6\) maneiras diferentes. Ou seja, as 3 unidades podem ser dispostas em qualquer uma das 6 ordens possíveis.
Passo 3 – Organizar os irmãos dentro do bloco:
Dentro do bloco, os 3 irmãos podem ser organizados de \(3! = 6\) formas diferentes. Ou seja, podemos permutar os 3 irmãos de 6 maneiras diferentes.
Passo 4 – Calcular o total de arranjos:
Agora, para calcular o total de arranjos possíveis, devemos multiplicar as possibilidades de organizar as 3 unidades externas (o bloco e as cadeiras) com as permutações dos 3 irmãos dentro do bloco.
Logo, o total de arranjos será:
3! × 3! = 6 × 6 = 36
Correção do raciocínio:
Embora o raciocínio tenha sido explicado corretamente, com uma análise cuidadosa da solução, observamos que a questão está pedindo especificamente por 5 cadeiras e 3 irmãos sentados juntos.
Se considerarmos 5 cadeiras, mas apenas 3 delas ocupadas pelos irmãos (com as 2 cadeiras vazias), temos 3 posições possíveis para o “bloco” de 3 irmãos:
- Cadeiras 1-2-3
- Cadeiras 2-3-4
- Cadeiras 3-4-5
– Dentro do bloco, os irmãos podem ser organizados de 6 maneiras diferentes.
– Além disso, para as 2 cadeiras restantes, as outras 2 pessoas podem ser organizadas de \(2! = 2\) maneiras.
Logo, o total de arranjos será:
3 × 6 × 2 = 36
Conclusão:
O total de maneiras possíveis de organizar os 3 irmãos nas 5 cadeiras, com os irmãos sentando-se sempre juntos, é 36.
Resposta correta: C) 36
Fonte: Raciocínio Lógico Matemático – Carlos Henrique & questões FEPESE 2022/2023.
3. Um número inteiro X é múltiplo de 6 e está entre 100 e 130. Quantos valores possíveis X pode assumir?
Gabarito: Letra D
Passo 1 – Identificar os múltiplos de 6 dentro do intervalo [100, 130]:
Precisamos encontrar todos os números múltiplos de 6 que estejam entre 100 e 130.
O menor múltiplo de 6 ≥ 100 é:
100 ÷ 6 ≈ 16,66 → arredondamos para cima → 17
6 × 17 = 102
O maior múltiplo de 6 ≤ 130 é:
130 ÷ 6 ≈ 21,66 → arredondamos para baixo → 21
6 × 21 = 126
Passo 2 – Contar quantos múltiplos existem entre 102 e 126:
Os múltiplos de 6 entre 102 e 126 são:
102, 108, 114, 120, 126 → totalizando 7 valores.
Resposta correta: 7
Fonte de apoio: Apostilas preparatórias FEPESE, conteúdo de Aritmética e Múltiplos.
4. Qual é o próximo número da sequência: 2, 4, 8, 16, ?
Gabarito: Letra A
Explicação:
Observe os termos da sequência: 2 → 4 → 8 → 16 → ?
A cada passo, o número é multiplicado por 2:
- 2 × 2 = 4
- 4 × 2 = 8
- 8 × 2 = 16
- 16 × 2 = 32
Portanto, o próximo número da sequência é 32.
Fonte: Sequência lógica simples – padrão de multiplicação.
5. Considere a proposição composta: “Se João estuda, então ele é aprovado.” A negação lógica correta dessa proposição é:
Gabarito: Letra C
Explicação:
A proposição “Se João estuda, então ele é aprovado” tem a forma lógica: P → Q, onde:
- P: João estuda
- Q: João é aprovado
Para negar uma condicional do tipo “Se P, então Q”, usamos a seguinte equivalência lógica:
¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q
Ou seja, a negação correta é: João estuda (P) e não é aprovado (¬Q).
Essa forma contradiz diretamente a ideia original da condicional, que afirmava que toda vez que ele estudasse, seria aprovado. Encontrar uma situação onde ele estuda e, ainda assim, não é aprovado, serve como negação perfeita da proposição.
Fonte: Lógica Proposicional – Maria Tereza Paiva, 2019
6. Complete a sequência lógica a seguir: 3, 6, 5, 10, 7, 14, ?
Gabarito: Letra B
Explicação:
Vamos observar os termos da sequência: 3, 6, 5, 10, 7, 14, ?
Note que há dois padrões intercalados:
- Primeiro padrão (posição 1, 3, 5…): 3 → 5 → 7 → 9 (+2 a cada passo)
- Segundo padrão (posição 2, 4, 6…): 6 → 10 → 14 → 18 (+4 a cada passo)
Como estamos na 7ª posição, seguimos o primeiro padrão:
7 + 2 = 9
Fonte: Lógica de Sequência Numérica – Estilo FEPESE, provas anteriores de concursos públicos.
7. Em lógica proposicional, a proposição composta “Pedro é médico e Ana é advogada” será verdadeira apenas quando:
Gabarito: Letra A
Explicação:
A proposição apresentada tem o conectivo “e”, conhecido como conjunção, representado logicamente por P ∧ Q.
Esse conectivo só é verdadeiro quando ambas as proposições simples são verdadeiras ao mesmo tempo.
- P: Pedro é médico
- Q: Ana é advogada
Portanto, a frase “Pedro é médico e Ana é advogada” será verdadeira somente se Pedro realmente for médico e Ana realmente for advogada.
Se qualquer uma dessas afirmações for falsa, a proposição inteira também será falsa.
Fonte: Apostilas de Raciocínio Lógico, Gran Cursos / Nova Concursos (2024)
8. Considere a proposição composta: “Se João estuda e Maria trabalha, então Pedro viaja.” Assinale a alternativa que apresenta a negação lógica correta dessa proposição.
Gabarito: Letra C
Explicação:
A proposição original é do tipo condicional com conjunção no antecedente:
“Se (João estuda e Maria trabalha), então Pedro viaja.”
Símbolos lógicos: (J ∧ M) → P
Para negar uma condicional (P → Q), usamos a regra: ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q
Aplicando isso na nossa proposição:
- P = João estuda e Maria trabalha (J ∧ M)
- Q = Pedro viaja (P)
Logo, a negação será:
(João estuda e Maria trabalha) e Pedro não viaja
Essa é a alternativa **C**.
Fonte: Lógica Proposicional – Cezar Mortari, 2020. Técnica de negação da condicional.
9. Observe a sequência numérica a seguir e identifique o próximo número: 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – ?
Gabarito: Letra B
Explicação:
A sequência apresentada é: 2, 4, 8, 16, 32, ?
Note que cada número da sequência é o dobro do número anterior:
- 2 × 2 = 4
- 4 × 2 = 8
- 8 × 2 = 16
- 16 × 2 = 32
Logo, o próximo número será:
32 × 2 = 64
Fonte: Lógica básica de sequências – Material preparatório para concursos, FEPESE (2023).
10. Considere as proposições simples: P: “Carlos estuda.” Q: “Ana trabalha.” R: “Bruno viaja.”Agora considere a proposição composta: “Se Carlos estuda ou Ana trabalha, então Bruno viaja.”Assinale a alternativa que corresponde à negação lógica correta dessa proposição composta.
Gabarito: Letra A
Explicação:
A proposição original é condicional: “Se P ou Q, então R.” Ou seja: “Se Carlos estuda ou Ana trabalha, então Bruno viaja.”
Para negar uma condicional do tipo “Se A, então B”, usamos a seguinte equivalência lógica:
Negação: A e não B
Aplicando isso à proposição:
- A parte A = Carlos estuda ou Ana trabalha
- B = Bruno viaja
- Negação de B = Bruno não viaja
Portanto, a negação é:
“Carlos estuda ou Ana trabalha, e Bruno não viaja.”
Essa estrutura aparece com frequência em provas de concursos, pois testa o conhecimento sobre negação de proposições compostas com conectivos lógicos.
Fonte: Introdução à Lógica – Irving Copi | Provas FEPESE anteriores
11. Qual das alternativas abaixo é uma proposição lógica?
Gabarito: Letra C
Explicação:
Uma proposição lógica é uma frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, mas não as duas coisas ao mesmo tempo.
- A) “Vá estudar agora!” é uma ordem (imperativa), não tem valor lógico (não pode ser dita como V ou F).
- B) “Que filme interessante!” é uma exclamação, também não é uma proposição.
- C) “O número 10 é par.” é uma afirmação que pode ser analisada logicamente. É verdadeira. Portanto, é uma proposição.
- D) “Tomara que chova hoje.” é um desejo, não pode ser classificado como verdadeiro ou falso.
Fonte: Marcondes, Danilo. *Lógica para todos*. 2ª ed., Zahar, 2020.
12. Considere as proposições simples: P: “João é médico.” Q: “João é dentista.”Com base nas proposições acima, analise a proposição composta: P ∧ ¬Q (João é médico e não é dentista).Qual das alternativas abaixo representa corretamente a tabela-verdade dessa proposição composta?
Gabarito: Letra D
Explicação:
Queremos analisar a tabela-verdade da proposição: P ∧ ¬Q (“João é médico e não é dentista”).
Vamos montar a tabela com todas as combinações possíveis de valores de verdade para P e Q:
| P | Q | ¬Q | P ∧ ¬Q |
|---|---|---|---|
| V | V | F | F |
| V | F | V | V |
| F | V | F | F |
| F | F | V | F |
Assim, a sequência de valores de verdade da proposição composta P ∧ ¬Q é: F, V, F, F
Logo, a alternativa correta é a Letra D.
Fonte: Estrutura clássica de Tabelas-Verdade – Raciocínio Lógico para Concursos (William Douglas, 2023).
13. Complete a sequência lógica a seguir:2, 4, 8, 16, ___, ___
Gabarito: Letra A
Explicação:
A sequência apresentada é: 2, 4, 8, 16…
Perceba que cada número é o dobro do anterior:
- 2 × 2 = 4
- 4 × 2 = 8
- 8 × 2 = 16
- 16 × 2 = 32
- 32 × 2 = 64
Logo, os dois próximos números da sequência são: 32 e 64.
14. Considere a proposição composta: “João é engenheiro ou Maria é advogada.”A negação lógica correta dessa proposição é:
Gabarito: Letra C
Explicação:
Sabemos que a negação da proposição “P ou Q” (P ∨ Q) é logicamente equivalente a “não P e não Q” (~P ∧ ~Q).
No caso desta questão:
- P: João é engenheiro
- Q: Maria é advogada
- Negação: João não é engenheiro e Maria não é advogada
Logo, a alternativa correta é a letra C.
Fonte: Lógica de Proposições – Manual de Raciocínio Lógico para Concursos, Carlos Henrique & Fundação FEPESE.
15. Uma senha é formada por 2 letras maiúsculas do alfabeto seguidas por 2 algarismos (de 0 a 9). Quantas senhas diferentes podem ser formadas, considerando que as letras e os algarismos podem se repetir?
Gabarito: Letra D
Explicação:
Para resolver esse problema, usamos o Princípio Multiplicativo da Contagem. Devemos multiplicar o número de possibilidades para cada posição da senha:
- Há 26 letras maiúsculas no alfabeto. Como elas podem se repetir, temos 26 possibilidades para a primeira letra e 26 para a segunda:
- → 26 × 26 = 676 combinações de letras
- Os algarismos vão de 0 a 9, totalizando 10 possibilidades. Como podem se repetir, temos:
- → 10 × 10 = 100 combinações de números
Agora multiplicamos:
676 × 100 = 67.600 senhas possíveis
Fonte: Fundamentos de Matemática Elementar – Gelson Iezzi
16. Qual é a equivalência lógica da proposição: “Se Pedro estuda, então ele passa na prova”?
Gabarito: Letra B
Explicação:
A proposição “Se Pedro estuda, então ele passa na prova” tem a forma lógica P → Q.
Uma equivalência lógica importante é a contrapositiva: P → Q é logicamente equivalente a ¬Q → ¬P.
Nesse caso: P: Pedro estuda Q: Pedro passa na prova
Assim, a contrapositiva é: “Se Pedro não passa na prova, então ele não estuda.”
Essa é uma equivalência lógica válida e frequentemente cobrada em provas de concursos públicos.
Fonte: Grimaldi, Ralph. Lógica Matemática e suas Aplicações. Pearson, 2020.
17. Três amigas — Ana, Beatriz e Carla — participaram de uma competição e cada uma ficou em uma posição diferente: 1º, 2º ou 3º lugar. Sabe-se que:
- Ana não ficou em primeiro lugar;
- Beatriz não ficou nem em primeiro nem em terceiro;
- Carla ficou em algum lugar à frente de Beatriz.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a ordem correta da classificação, do 1º ao 3º lugar, foi:
Gabarito: Letra C
Explicação:
Vamos testar as posições com base nas restrições:
- 1. Ana não ficou em 1º → Ana só pode estar em 2º ou 3º.
- 2. Beatriz não ficou nem em 1º nem em 3º → Beatriz ficou em 2º.
- 3. Carla ficou à frente de Beatriz → como Beatriz está em 2º, Carla tem que estar em 1º.
Assim, sobram apenas as seguintes posições:
- 1º lugar: Carla
- 2º lugar: Beatriz
- 3º lugar: Ana
Essa é a única ordem que satisfaz todas as condições do enunciado.
Fonte: Adaptado de modelos de questões de raciocínio lógico em concursos da banca FEPESE.
18. Complete a sequência lógica a seguir:
2, 4, 8, 16, ___, 64
Gabarito: Letra A
Explicação:
Observe que cada número da sequência é o dobro do anterior:
- 2 × 2 = 4
- 4 × 2 = 8
- 8 × 2 = 16
- 16 × 2 = 32
- 32 × 2 = 64
Portanto, o número que completa a sequência é 32.
19. Considere a seguinte proposição composta:
“Se João estuda, então ele será aprovado.”
Assinale a alternativa que apresenta a **negação lógica** correta dessa proposição.
Gabarito: Letra D
Explicação:
A proposição “Se João estuda, então ele será aprovado” tem a forma lógica:
P → Q (Se P, então Q)
A **negação lógica** dessa proposição é:
P ∧ ¬Q (P e não Q)
Ou seja, “João estuda **e** não será aprovado”. Essa é a única forma de tornar a proposição condicional falsa.
Fonte: SILVA, Manoel. Lógica para Concursos. Editora AlfaCon, 2021.
20. Três amigos — Ana, Bruno e Carla — participam de um torneio de xadrez. Cada um jogou exatamente uma partida com os outros dois. Sabe-se que:
- Ana venceu Bruno;
- Carla não venceu Ana;
- Bruno venceu Carla.
Com base nessas informações, quem venceu o maior número de partidas?
Gabarito: Letra A
Explicação:
Vamos organizar as informações:
- Ana venceu Bruno → Vitória de Ana, derrota de Bruno.
- Carla não venceu Ana → Carla perdeu para Ana.
- Bruno venceu Carla → Vitória de Bruno, derrota de Carla.
Agora contamos o número de vitórias de cada um:
- Ana: venceu Bruno e venceu Carla → 2 vitórias.
- Bruno: venceu Carla, perdeu para Ana → 1 vitória.
- Carla: perdeu para Ana e para Bruno → 0 vitórias.
Resposta correta: Ana venceu o maior número de partidas, com 2 vitórias.
Fonte de inspiração: Estilo clássico de questões de lógica da banca FEPESE e outras bancas organizadoras (CESPE, FGV).
21. Cinco amigos — Ana, Bruno, Carla, João e Pedro — vão tirar uma foto, posicionando-se lado a lado. Ana e Carla querem ficar juntas. De quantas maneiras diferentes os amigos podem se organizar para a foto?
Gabarito: Letra B
Passo 1 – Agrupar Ana e Carla como um bloco
Como Ana e Carla devem sempre ficar juntas, tratamos elas como um único “bloco”. Dentro desse bloco, as duas podem ser organizadas de **2 formas** diferentes:
– Ana primeiro, depois Carla – Carla primeiro, depois AnaEntão, para esse bloco temos 2! = 2 formas de arranjar Ana e Carla dentro do bloco.
Passo 2 – Organizar os blocos
Agora, temos 4 “itens” para organizar: o bloco de Ana e Carla e os outros 3 amigos (Bruno, João e Pedro). O número total de maneiras de organizar esses 4 “itens” é dado por 4! (fatorial de 4):– 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 formas de organizar os 4 itens.
### Passo 3 – Calcular o total de arranjos
Agora, para encontrar o número total de arranjos, basta multiplicar as 24 formas de organizar os 4 itens pelas 2 formas de organizar Ana e Carla dentro do bloco:– **Total de arranjos = 4! × 2 = 24 × 2 = 48Conclusão
O número total de maneiras de organizar os 5 amigos, com Ana e Carla sempre juntas, é 48.22. Em uma sala de aula, há 4 cadeiras ocupadas por 4 alunos. De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar, considerando que as cadeiras são todas iguais?
Gabarito: Letra C
Essa é uma questão simples de permutação. Como há 4 alunos e 4 cadeiras, temos que calcular as formas de organizar 4 pessoas em 4 lugares, ou seja, permutar 4 elementos. A fórmula para permutação de 4 elementos é:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Portanto, o número de maneiras de organizar os alunos nas cadeiras é 24.
Resposta correta: C) 24
Fonte: Matemática Discreta – Permutação simples.
23. Em uma competição de 5 equipes, 3 delas devem ser escolhidas para a final. De quantas maneiras diferentes isso pode ocorrer?
Gabarito: Letra C
Essa é uma questão de combinação, onde a ordem das equipes não importa. Temos 5 equipes, e precisamos escolher 3 para a final. A fórmula para combinação é:
C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)
- n = 5 (número total de equipes)
- k = 3 (número de equipes a serem escolhidas)
Substituindo na fórmula:
C(5, 3) = 5! / (3!(5 - 3)!) = 5! / (3! × 2!) = 120 / 12 = 10
Portanto, o número de maneiras de escolher 3 equipes para a final é 10.
Resposta correta: C) 10
Fonte: Raciocínio Combinatório – Combinação simples.
24. Se um número de 3 dígitos é formado por algarismos entre 0 e 9, de quantas formas diferentes podemos formar esse número, considerando que o dígito das centenas não pode ser 0?
Gabarito: Letra C
Essa é uma questão de contagem combinatória. O número tem 3 dígitos: centenas, dezenas e unidades.
Passo 1: O dígito das centenas não pode ser 0, então ele pode ser qualquer número de 1 a 9. Ou seja, há 9 opções para o dígito das centenas.
Passo 2: O dígito das dezenas pode ser qualquer número de 0 a 9, então há 10 opções para o dígito das dezenas.
Passo 3: O dígito das unidades também pode ser qualquer número de 0 a 9, então há 10 opções para o dígito das unidades.
Total de formas: O total de números possíveis é o produto das opções de cada dígito:
9 × 10 × 10 = 900
Portanto, o número de formas diferentes de formar esse número de 3 dígitos é 900.
Resposta correta: C) 900
Fonte: Raciocínio Combinatório – Permutação e Contagem Simples.
25. Quantas formas diferentes existem para organizar 5 livros em uma estante, sendo que 2 dos livros são idênticos?
Gabarito: Letra C
Essa é uma questão de permutação com elementos repetidos. Para calcular o número de formas de organizar 5 livros, onde 2 livros são idênticos, usamos a fórmula de permutação com repetição:
n! / p!
- n = 5 (número total de livros)
- p = 2 (número de livros idênticos)
Substituindo na fórmula:
5! / 2! = 120 / 2 = 60
Portanto, o número de formas de organizar os 5 livros é 60.
Resposta correta: C) 60
Fonte: Permutação com Repetição – Problemas de contagem.
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MATERIAL DE APOIO
📘 Fundamentos da Análise Combinatória + Permutações
🔷 O que é Análise Combinatória?
Análise Combinatória é um ramo da matemática que estuda as diferentes formas de contar e organizar elementos de um conjunto, seguindo regras específicas. Ela responde perguntas como:
- Quantas senhas de 4 dígitos posso formar?
- De quantas formas posso organizar livros na estante?
- Quantas combinações possíveis existem entre itens de um cardápio?
🔶 Palavras-chave básicas
| Conceito | Significado rápido |
|---|---|
| Elemento | Cada item individual (número, letra, pessoa) |
| Conjunto | Coleção de elementos |
| Arranjo | Ordem importa |
| Permutação | Ordem importa e usa todos os elementos |
| Combinação | Ordem não importa |
🔷 Permutação — Quando usamos todos os elementos e a ordem importa
🔹 Permutação Simples
Usamos quando:
- Todos os elementos são distintos.
- Todos devem ser usados.
- A ordem importa.
📌 Fórmula:
[
P(n) = n!
]
Onde n! (lê-se “fatorial de n”) significa:
[
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1
]
🔸 Exemplo Prático:
Quantas maneiras diferentes podemos organizar 4 livros distintos em uma estante?
- Temos 4 livros → n = 4
- Aplicamos a fórmula:
[
P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
]
🎯 Resposta: 24 maneiras
🔹 Permutação com Repetição
Usamos quando:
- Alguns elementos se repetem.
📌 Fórmula:
[
P(n; a, b, c) = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c!}
]
Onde:
n!= total de elementosa!,b!,c!= fatorial dos elementos repetidos
🔸 Exemplo Prático:
Quantas anagramas (palavras com as mesmas letras) diferentes podem ser formados com a palavra MAMA?
- Letras: M, A, M, A (4 letras, com M repetindo 2x e A também 2x)
[
P = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6
]
🎯 Resposta: 6 formas diferentes
🔷 Resumo Visual da Permutação
| Tipo | Ordem importa? | Usa todos os elementos? | Fórmula |
|---|---|---|---|
| Permutação Simples | ✅ | ✅ | ( P(n) = n! ) |
| Permutação com Repetição | ✅ | ✅ | ( \frac{n!}{a!b!c!} ) |
- Tela 15;6″ FHD
- Pacote office 365 Personal (licença de 1 ano)
- Windows 11 home
- Sistema Operacional: Linux 64 bits (Debian)
- Processador: Intel Core i5-13420H de 13ª geração
- Armazenamento: 512 GB SSD
📘 Arranjos e Diferenças entre Permutação e Arranjo
🔷 O que são Arranjos?
Arranjos são utilizados quando:
- A ordem dos elementos importa,
- Apenas alguns elementos do conjunto total são utilizados.
Ou seja: você escolhe uma quantidade menor de itens de um grupo maior, e a posição faz diferença.
🔶 Fórmula do Arranjo Simples
[
A(n, p) = \frac{n!}{(n – p)!}
]
📌 Onde:
n= total de elementos disponíveis;p= quantidade de elementos escolhidos;!= fatorial.
🔹 Exemplo Prático – Arranjo
Quantas senhas de 3 dígitos diferentes podem ser formadas usando os números de 1 a 5, sem repetir?
Temos:
n = 5(números disponíveis: 1, 2, 3, 4, 5)p = 3(dígitos da senha)
Aplicando a fórmula:
[
A(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60
]
✅ Resposta: 60 senhas diferentes
🧠 Diferença entre Permutação e Arranjo
| Característica | Permutação | Arranjo |
|---|---|---|
| Usa todos os elementos? | Sim | Não |
| Ordem importa? | Sim | Sim |
| Fórmula | n! | (\frac{n!}{(n – p)!}) |
| Exemplo típico | Organizar livros | Criar senhas com menos dígitos |
🔷 Dica Visual com Diagrama
Suponha os elementos A, B e C.
- Permutação (3!) → Organiza todos:
- ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA → 6 formas.
- Arranjo de 2 entre 3 (A(3,2)):
- AB, AC, BA, BC, CA, CB → 6 formas (a ordem muda o resultado)
✅ Note: mesma quantidade nesse caso porque os valores são pequenos, mas para n maiores, os resultados divergem bastante.
🛠️ Aplicações no Dia a Dia
| Situação | Tipo | Por quê? |
|---|---|---|
| Organizar alunos em fila | Permutação | Todos entram, ordem importa |
| Montar uma senha de 4 letras | Arranjo | Só algumas letras, e ordem importa |
| Montar uma equipe (ordem não importa) | Combinação (veremos depois) | Apenas selecionar, sem ordem |
🚀 Prática para Fixação
Exercício 1:
Quantas maneiras diferentes é possível organizar 4 alunos em 2 cadeiras?
[
A(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12
]
Exercício 2:
Quantas formas podemos organizar 6 livros diferentes em uma prateleira?
[
P(6) = 6! = 720
]
Agora você já sabe:
- A diferença entre Permutação e Arranjo
- Como aplicar as fórmulas
- Quando usar cada conceito
➡️ Próximo passo: Na parte 3, vamos entrar nas Combinações, onde a ordem dos elementos não importa, além de aprofundar a prática com mais exercícios e aplicações reais.
- Versão 4G, não tem NFC
- Carregador Padrão BR ou EUA, enviado conforme disponível.
- Carregador Padrão BR ou EUA, enviado conforme disponibilidade.
- Versão 4G, não tem NFC.
📘 Combinações – Quando a Ordem Não Importa
O que são Combinações?
As combinações são utilizadas quando queremos escolher elementos de um conjunto, mas a ordem dos elementos escolhidos não faz diferença.
Definição formal
Uma combinação é uma seleção de elementos em que a ordem dos escolhidos não interfere no resultado final.
Por exemplo:
- Escolher 3 alunos entre 10 para formar um grupo (sem cargos definidos).
- Selecionar 5 números para jogar na Mega-Sena.
- Formar uma comissão, onde ninguém tem função específica.
Fórmula das Combinações
A fórmula para calcular combinações é:
Cnp = n! / [p! × (n – p)!]
Onde:
- n = número total de elementos do conjunto
- p = número de elementos escolhidos
- ! = fatorial (por exemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1)
🧠 Dica para lembrar:
“Combinação” vem de “combinar”. Se você muda a ordem e continua sendo o mesmo grupo, é uma combinação.
Exemplo Prático – Escolhendo uma comissão
Problema: Em uma sala com 6 pessoas, quantas comissões de 3 membros diferentes podem ser formadas?
⚙️ Solução:
Como a ordem não importa, usamos a fórmula de combinação:
C₆³ = 6! / (3! × (6 – 3)!)
Vamos resolver passo a passo:
- 6! = 720
- 3! = 6
- (6 – 3)! = 3! = 6
C₆³ = 720 / (6 × 6) = 720 / 36 = 20
✅ Resposta: 20 comissões diferentes
Comparando Combinação x Arranjo
Para reforçar o aprendizado, veja esta tabela comparativa:
| Situação | Ordem Importa? | Tipo | Fórmula usada |
|---|---|---|---|
| Selecionar 3 senhas de 5 | Sim | Arranjo | A₅³ = 5! / (5 – 3)! |
| Formar grupo de 3 de 5 | Não | Combinação | C₅³ = 5! / (3! × (5 – 3)!) |
| Montar pódio (ouro, prata…) | Sim | Arranjo | Aₙᵖ |
| Montar comissão | Não | Combinação | Cₙᵖ |
Exemplos com Situações Reais
🎓 Vestibular – Questão Clássica
Uma escola precisa formar uma equipe de 4 alunos entre 10 para participar de uma feira. Quantas equipes diferentes podem ser montadas?
Resolução:
Como não há hierarquia ou cargo, a ordem não importa ⇒ Combinação
C₁₀⁴ = 10! / (4! × 6!) = 210
✅ Resposta: 210 maneiras
Exercícios Resolvidos e Comentados
🧪 Exemplo 1:
De um grupo de 7 pessoas, quantas duplas diferentes podem ser formadas?
⚙️ Solução:
C₇² = 7! / (2! × 5!) = (7 × 6) / 2 = 21
🧪 Exemplo 2:
Em uma estante com 9 livros, queremos selecionar 4 para levar em uma viagem. Quantas escolhas diferentes podemos fazer?
⚙️ Solução:
A ordem dos livros não importa → combinação
C₉⁴ = 9! / (4! × 5!) = 126
Pratique você também! (Exercícios propostos)
- Quantas combinações de 3 letras podem ser feitas com as letras A, B, C, D, E? (Sem repetir letras e sem se importar com a ordem)
- Um grupo de 12 pessoas quer montar uma comissão de 5. De quantas maneiras isso pode ser feito?
- Quantos grupos de 4 alunos podem ser formados a partir de 6 candidatos?
Dica de ouro 💡
Sempre se pergunte:
“Se eu trocar os elementos de lugar, ainda é o mesmo grupo?”
- Se sim, é combinação.
- Se não, é arranjo ou permutação.
➡️ Próximo passo:
Na Parte 4, vamos aprender a identificar rapidamente quando usar permutação, arranjo ou combinação, além de resolver questões mistas e desafios de provas com passo a passo completo.
- Potente: Com 12000 BTUs, este ar condicionado portátil é capaz de resfriar ou aquecer ambientes de até 18 m² de forma ef…
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- Múltiplas Funções: Oferece modos de refrigeração, ventilação, desumidificação e aquecimento, para atender suas necessida…
- Instalação Simples: Não requer instalação permanente ou tubulação complexa, basta conectar a mangueira de exaustão a rég…
🧠 Como Saber Quando Usar Permutação, Arranjo ou Combinação?
A dúvida clássica: qual fórmula usar?
Muitos estudantes confundem os conceitos de permutação, arranjo e combinação. Vamos deixar isso claro com um esquema simples e visual:
| Situação | Ordem Importa? | Repetição Permitida? | Fórmula |
|---|---|---|---|
| Permutação | ✅ Sim | ❌ Não | Pn = n! |
| Arranjo | ✅ Sim | ❌ Não | Anp = n! / (n – p)! |
| Combinação | ❌ Não | ❌ Não | Cnp = n! / [p! × (n – p)!] |
Perguntas que ajudam a decidir
1. A ordem dos elementos importa?
- Sim → Pode ser Permutação ou Arranjo.
- Não → É Combinação.
2. Está usando todos os elementos?
- Sim + ordem importa → Permutação.
- Não + ordem importa → Arranjo.
- Não + ordem não importa → Combinação.
Exemplos práticos para treinar a escolha
Exemplo 1 – Permutação
Quantas formas diferentes podemos organizar 5 livros distintos em uma estante?
- Todos os elementos serão usados.
- A ordem de disposição importa (livro A antes de B é diferente de B antes de A).
✅ Permutação de 5 elementos
P₅ = 5! = 120 formas.
Exemplo 2 – Arranjo
Em uma corrida com 10 atletas, de quantas formas diferentes podemos escolher os 3 primeiros colocados (ouro, prata e bronze)?
- A ordem importa (1º lugar ≠ 2º lugar).
- Apenas 3 dos 10 atletas são escolhidos.
✅ Arranjo de 10 tomados 3 a 3
A₁₀³ = 10! / (10 – 3)! = 720 formas.
Exemplo 3 – Combinação
De 12 pessoas, quantas comissões de 4 membros podem ser formadas, sem função específica?
- A ordem não importa.
✅ Combinação de 12 elementos, 4 a 4
C₁₂⁴ = 12! / (4! × 8!) = 495 formas.
Questões Mistas (Concursos e Provas)
Agora que você entendeu como diferenciar cada caso, vamos resolver exercícios mistos com explicação passo a passo:
Questão 1 – (Estilo concurso)
Uma escola precisa selecionar 3 representantes entre 8 alunos para viajar. A função de cada representante não importa. Quantas seleções possíveis?
🔍 A ordem não importa → Combinação
C₈³ = 8! / (3! × 5!) = 56 seleções possíveis.
Questão 2 – (Estilo ENEM)
Em uma prova de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, quantas sequências diferentes podemos ter para responder 3 questões consecutivas?
🔍 A ordem importa → Arranjo com repetição, pois as alternativas se repetem.
Cada questão tem 5 possibilidades →
Resposta = 5 × 5 × 5 = 125 sequências possíveis.
Resumo com Mapa Mental Visual
──────────────────────────┐
│ A ordem dos elementos… │
└──────────────────────────┘
↓
┌────────────┴────────────┐
Importa Não importa
↓ ↓
┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐
│ Todos os itens? │ │ Combinação │
└─────────────────┘ └─────────────────┘
↓ ↓
Sim Não
↓ ↓
Permutação Arranjo
Conclusão
Entender quando usar permutação, arranjo ou combinação é um divisor de águas para dominar a Análise Combinatória. Essa decisão depende sempre de duas perguntas-chave:
- A ordem importa?
- Você está usando todos os elementos?
Se essas duas perguntas forem respondidas com segurança, você saberá aplicar a fórmula certa e resolver as questões com mais confiança.
Tabela Verdade (Raciocínio Lógico Matemático)
| P | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q (Conjunção) | P ∨ Q (Disjunção) | P → Q (Condicional) | P ↔ Q (Bicondicional) | P ∨ ¬Q (Disjunção com ¬Q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | F | V |
| F | V | V | F | F | V | V | F | F |
| F | F | V | V | F | F | V | V | V |
Explicação da Tabela Verdade Completa
A tabela verdade é uma ferramenta essencial para o estudo da lógica matemática. Ela mostra todos os possíveis valores de verdade das proposições envolvidas, combinando as variáveis P e Q. Abaixo, explicamos o que cada operação significa:
- ¬P e ¬Q: negação das proposições. Inverte o valor lógico (V vira F, e F vira V).
- P ∧ Q (conjunção): só é verdadeira se ambas forem verdadeiras.
- P ∨ Q (disjunção): é verdadeira se pelo menos uma for verdadeira.
- P → Q (condicional): é falsa apenas quando P é verdadeira e Q é falsa.
- P ↔ Q (bicondicional): é verdadeira quando P e Q têm o mesmo valor lógico.
- P ∨ ¬Q: disjunção entre P e a negação de Q.
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